У новому науковому дослідженні, опублікованому в квітні 2025 року, Орі Лівсон і Михайло Прокопенко з Університету Сіднея доводять: глибинні логічні межі математики та теорії голосування мають спільну природу. Як і знаменитий парадокс Геделя, неможливість побудувати досконалу систему виборів базується на явищі самопосилання.

Про це пише The Conversation, посилаючись на препринт «Recasting Arrow’s Impossibility Theorem as Gödelian Incomputability» на arXiv.

Вибори як форма логіки

Автори створили загальну формалізовану структуру — Self-Reference System (Система Самопосилання) — яка дозволяє описати одночасно і теорему Геделя, і теорему Ерроу, центральну в теорії суспільного вибору. Обидві демонструють логічні межі систем, що намагаються охопити власну цілісність. У випадку Геделя — це формальні системи, у випадку Ерроу — голосування.

«Усі спроби побудувати ідеальну демократію стикаються з парадоксами, аналогічними “це твердження недоказове”», — зазначають Лівсон і Прокопенко.

У чому суть теореми Ерроу?

Американський економіст Кеннет Ерроу у 1951 році довів: якщо виборча система має більше двох кандидатів і задовольняє кілька базових умов справедливості (універсальність, незалежність від нерелевантних альтернатив, відсутність диктатора), то вона неминуче потрапляє в парадокс Кондорсе: наприклад, А кращий за В, В кращий за С, але С кращий за А. Такий цикл суперечить транзитивності — основі будь-якого логічного порядку.

Новизна роботи Лівсона і Прокопенка — у формалізації цих суперечностей як невичислюваності: система не здатна обчислити узгоджене колективне рішення на основі індивідуальних вподобань. І це не помилка реалізації, а принципова межа.

Математика та демократія: спільна межа

У своїй моделі Self-Reference System автори показують: так само як у формальній арифметиці не існує формули, здатної довести всі істини (Гедель), так і у виборчій системі не існує механізму, здатного агрегувати всі переваги без логічного збою (Ерроу).

З формального погляду:

• У арифметиці вираз подає формулу про саму себе (через Гедель-нумерацію).
• У виборах бюлетень — це кодування уподобань, а загальний результат — «декодування».
• Але спроба звести все до одного висловлювання (результату) створює логічну пастку: самопосилання, яке розриває систему зсередини.

Автори доводять: жодна система не здатна узгодити всі переваги без зовнішнього диктатора, тобто без «надвиборця», що вирішує суперечності самовільно.

Чому це важливо знати

Це дослідження не підважує демократію — навпаки, воно дає глибше розуміння її меж. Те, що голосування іноді дає суперечливі або незрозумілі результати — не помилка дизайну, а прояв фундаментального логічного обмеження. Це означає, що політичні системи повинні не шукати «ідеальний алгоритм», а створювати процедури контролю, компромісу та відкритості.

«Демократія — найгірша форма правління, за винятком усіх інших, які людство спробувало до цього часу», — ця фраза Черчилля отримує нове математичне підтвердження.